Аналитическая геометрия

 

Урок 11

План урока.

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

Парабола.

 

Директрисы эллиПса и гиПерболы.

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные большой оси эллиПса и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами эллиПса (гДе а - большая Полуось эллиПса, e - эксцентриситет)

оПреДеление. Две Прямые, ПерПенДикулярные Действительной оси гиПерболы и расПоложенные симметрично относительно центра на расстоянии а/e от него, называются Директрисами гиПерболы (гДе а - Действительная Полуось, e - эксцентриситет)

уравнения Директрис эллиПса и гиПерболы имеют виД: х=±а/e.

с Помощью Понятия Директрисы и эксцентриситета можно сформулировать общее свойство, Присущее эллиПсу и гиПерболе.

теорема. если r - расстояние от Произвольной точки м эллиПса (гиПерболы) До какого-нибуДь фокуса, d - расстояние от этой же точки До соответствующей этому фокусу Директрисы, то отношение r/d есть Постоянная величина, равная эксцентриситету эллиПса (гиПерболы).

Данное свойство можно Положить в основу общего оПреДеления этих линий: множество точек, Для которых отношение расстояний До фокуса и До соответствующей Директрисы является величиной Постоянной, равной e, есть эллиПс, если e<1, и гиПербола, если e>1.

возникает воПрос, что ПреДставляет собой множество точек, При условии e=1. оказывается, это новая линия второго ПоряДка, называемого Параболой.

 

Парабола.

оПреДеление. Параболой называется множество всех точек Плоскости, кажДая из которых нахоДится на оДинаковом расстоянии от Данной точки, называемой фокусом, и от Данной Прямой, называемой Директрисой и не ПрохоДящей через фокус.

Пусть м(х,у) - Произвольная точка Параболы. обозначим через r расстояние от точки м До фокуса f, через d - расстояние от точки м До Директрисы, а через P - расстояние от фокуса До Директрисы.

величину P называют Параметром Параболы. точка м лежит на Параболе, если r=P.

 

уравнение Параболы: у2=2Pх (каноническое уравнение).

исслеДуем форму Параболы По ее каноническому уравнению (Для не отрицательных значений у):

  1. если х<0, то уравнение не имеет смысла в Действительных числах;

  2. если х=0, то и у=0, т.е. начало коорДинат лежит на Параболе и является ее вершиной;

  3. При возрастании х возрастает и у.

Pассмотрим виДы Парабол.

у2=2Pх у2=-2Pх х2=2Pу х2=-2Pу

Пример. Дано уравнение Параболы у2=6х. составьте уравнение ее Директрисы и найти коорДинаты фокуса.

решение. сравнивая Данное уравнение с каноническим уравнением Параболы, Получим, что 2р=6, откуДа р=3. так как фокус Параболы имеет коорДинаты (р/2;0), а Директриса - уравнение х=-р/2, то Для Данной Параболы Получаем: коорДинаты фокуса (1,5; 0) и уравнение Директрисы х=-1,5.

уПражнения.

  1. составьте уравнение Параболы с вершиной в начале коорДинат и уравнение Директрисы Параболы, если известно, что осью симметрии является ось ох и что точка Пересечения Прямых у=х и у=2-х лежит на Параболе. (ответ: у2=х и х=-0,25)
  2. Даны точки а(-1;0) и в(2;0). точка м(х;у) Движется так, что в треугольнике амв угол авм остается вДвое больше угла мав. оПреДелить траекторию точки м. (ответ: гиПербола)
  3. Доказать, что если оси Двух Парабол взаимно ПерПенДикулярны и Параболы Пересекаются в четырех точках, то эти точки Пересечения лежат на оДной окружности.
Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»