| ||||||
|
| |||||
Урок 5План урока. оПределение уравнения линии. Примеры на отыскание множеств точек.
оПределение уравнения линии. рассмотрим соотношение вида: F(x,y)=0 (1) связывающее Переменные величины х и у. равенство вида (1) будем называть уравнением с двумя Переменными х и у, если это равенство сПраведливо не для всех Пар чисел х и у. Примеры уравнений: 2х+3у=0, х2+у2-25=0. если равенство (1) сПраведливо для всех Пар чисел х и у, то оно называется тождеством. Примеры тождеств: (х+у)2 - х2 -2ху -у2=0, (х-у)(х+у) - х2+у2=0. уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х;у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координатам никакой точки, не Принадлежащей этому множеству. важным Понятием аналитической геометрии является Понятие уравнения линии. Пусть на Плоскости заданы Прямоугольная система координат и некоторая линия l. оПределение. уравнение (1) называется уравнением линии l (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. из оПределения следует, что линия l Представляет собой множество всех точек Плоскости (х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению (1). если (1) является уравнением линии l, то будем говорить, что уравнение (1) оПределяет (или задает) линию l. Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим. наПример, задача нахождения точки Пересечения двух линий, оПределяемых уравнениями х+у=0 и х2+у2=1, сводится к алгебраической задаче совместного решения этих уравнений. линия l может оПределятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида F(?,?)=0, содержащим Полярные координаты. рассмотрим несколько Простейших Примеров оПределения линий с Помощью уравнений. 1) х - у=0. заПисав это уравнение в виде у=х, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, Представляет собой биссектрису Первого и третьего координатных углов. это и есть линия, оПределенная данным уравнением.
2) х2 - у2 =0. Представив уравнение в виде (х-у)(х+у)=0, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, - это две Прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов. (см рисунок - гиПерссылка)
3) х2+у2=0. множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, состоит из одной точки (0;0). в данном случае уравнение оПределяет, как говорят, вырожденную линию. 4) х2+у2+1=0. так как При любых х и у числа х2 и у2 неотрицательны, то х2+у2+1>0. значит, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. никакого геометрического образа на Плоскости данное уравнение не оПределяет. оно оПределяет "Пустое" множество точек. 5) p=а cOSf, где а - Положительное число, Переменные p и f - Полярные координаты. обозначим через м точку с Полярными координатами (p;f), через а - точку с Полярными координатами (а;0). если p=а cOSf, где 0<f<П/2, то угол ома - Прямой, и обратно. следовательно, множество точек, Полярные координаты которых удовлетворяют данному уравнению, есть окружность с диаметром оа.
6) p=аf, где а - Положительное число, p и f - Полярные координаты. обозначим через м точку с Полярными координатами (p;f). если p=0, то и f=0. таким образом, При увеличении угла f точка м(p;f), начавшая свое движение в Полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от Полюса. множество точек, Полярные координаты которых удовлетворяют уравнению p=аf, называется сПиралью архимеда. При этом ПредПолагается, чтоf? может Принимать любые неотрицательные значения. если точка м совершает один Полный оборот вокруг Полюса, то f возрастает на 2П, а р возрастает на 2аП, т.е. сПираль рассекает любую Прямую, Проходящую через Полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содержащего Полюс), которые имеют длину 2аП. в рассмотренных Примерах По заданному уравнению линии мы исследовали ее свойства и тем самым устанавливали, что Представляет собой эта линия. рассмотрим теПерь обратную задачу для заданного (какими-то его свойствами) множества точек, т.е. для заданной линии l, требуется найти его уравнение F(х;у)=0.
Примеры на отыскание множеств точек. рассмотрим несколько Примеров на отыскание множеств точек По уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты. Пример 1. вывести уравнение (в заданной Прямоугольной системе координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки с(а;в) на расстояние R. иными словами, требуется найти уравнение окружности радиуса R с центром в точке с(а;в). решение. вывести уравнение множества точек - значит составить зависимость между координатами любой точки этого множества. обозначим через м Переменную точку, Принадлежащую данному множеству точек, а через х,у - ее текущие координаты, тогда из условия следует, что lсмl=R. Подставляя в формулу расстояния между точками, Получим: возведя обе части равенства в квадрат, Получаем уравнение окружности с центром в точке с(а;в) и радиусом R: (х-а)2+(у-в)2=R2. оно встречается во многих геометрических задачах. Полагая в равенстве а=0, в=0, Получим уравнение окружности с центром в начале координат: х2+у2=R2. Пример 2. найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек а(1;1) и в(3;3). решение. возьмем Произвольную точку м(х;у), Принадлежащую данному множеству точек: тогда из условия следует, что отрезки ма и мв равны. исПользуя формулу расстояния между двумя точками, находим: , таким образом, = После Преобразования Приходим к искомому уравнению множества точек, равноудаленных от точек а(1;1) и в(3;3): х+у-4=0. как известно из элементарной геометрии, таким множеством точек является Прямая, Проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и ПерПендикулярная этому отрезку. уПражнения.
| ||||||
| ||||||
Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish» |