| ||||||
|
| |||||
Урок 2План урока. Расстояние между двумя точками на прямой. Прямоугольная (декартова) система координат.
Расстояние между двумя точками на прямой. Теорема 3. Если А(х) и В(у) - любые две точки, то d - расстояние между ними вычисляется по формуле: d=lу - хl. Доказательство. Согласно теореме 2 имеем АВ= у - х. Но расстояние между точками А и В равно длине отрезка АВ, те. длине вектора АВ. Следовательно, d = lАВl=lу-хl. Так как числа у-х и х-у берутся по модулю, то можно писать d=lх-уl. Итак, чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, нужно найти модуль разности их координат. Пример 4. Даны точки А(2) и В(-6), найти расстояние между ними. Решение. Подставим в формулу вместо х=2 и у=-6. Получим, АВ=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8. Пример 5. Построить точку, симметричную точке М(4) относительно начала координат. Решение. Т.к. от точки М до точки О 4 единичных отрезка, отложенные справа, то, чтобы построить симметричную ей точку, откладываем от точки О 4 единичных отрезка влево, получим точку М"(-4). Пример 6. Построить точку С(х), симметричную точке А(-4) относительно точки В(2). Решение. Отметим точки А(-4) и В(2) на числовой прямой. Найдем расстояние между точками по теореме 3, получим 6. Тогда расстояние между точками В и С тоже должно быть равным 6. Откладываем от точки В вправо 6 единичных отрезков, получим точку С(8). Упражнения. 1) Найти расстояние между точками А и В: а) А(3) и В(11), б) А(5) и В(2), в) А(-1) и В(3), г) А(-5) и В(-3), д) А(-1) и В(3), (Ответ: а)8, б)3, в)4, г)2, д)2). 2) Постройте точку С(х), симметричную точке А(-5) относительно точки В(-1). (Ответ: С(3)).
Прямоугольная (декартова) система координат. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартову) систему координат на плоскости. Ось Ох называется осью абсцисс, а ось Оу - осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху. Пусть М - произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу. Точки пересечения А и В эитх перпендикуляров с осями называются проекциями точки М на оси координат. Точкам А и В соответствуют определенные числа х и у - их координаты на осях Ох и Оу. Число х называется абсциссой точки М, число у - ее ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х,у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй - ординату. Начало координат имеет координаты (0,0). Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует пара чисел (х,у) - ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой паре чисел (х,у) соответствует, и притом одна, точка М на плоскости Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината равна у. Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы. Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рисунке (гиперссылка). На рисунке указаны также знаки координат точек в зависимости от их расположения. (например, в первой четверти обе координаты положительные). Пример 7. Построить точки: А(3;5), В(-3;2), С(2;-4), D(-5;-1). Решение. Построим точку А(3;5). Прежде всего введем прямоугольную систему координат. Затем по оси абсцисс отложим 3 единицы масштаба вправо, а по оси ординат - 5 единиц масштаба вверх и через окончательные точки деления проведем прямые, параллельные осям координат. Точка пересечения этих прямых является искомой точкой А(3;5). Остальные точки строятся таким же образом (см. рисунок-гиперссылка).
Упражнения.
| ||||||
| ||||||
Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish» |