Аналитическая геометрия

 

Урок 2

План урока.

Расстояние между двумя точками на прямой.

Прямоугольная (декартова) система координат.

                  

Расстояние между двумя точками на прямой.

Теорема 3. Если А(х) и В(у) - любые две точки, то d - расстояние между ними вычисляется по формуле: d=lу - хl.

Доказательство. Согласно теореме 2 имеем АВ= у - х. Но расстояние между точками А и В равно длине отрезка АВ, те. длине вектора АВ. Следовательно, d = lАВl=lу-хl.

Так как числа у-х и х-у берутся по модулю, то можно писать d=lх-уl. Итак, чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, нужно найти модуль разности их координат.

Пример 4. Даны точки А(2) и В(-6), найти расстояние между ними.

Решение. Подставим в формулу вместо х=2 и у=-6. Получим, АВ=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

Пример 5. Построить точку, симметричную точке М(4) относительно начала координат.

Решение. Т.к. от точки М до точки О 4 единичных отрезка, отложенные справа, то, чтобы построить симметричную ей точку, откладываем от точки О 4 единичных отрезка влево, получим точку М"(-4).

Пример 6. Построить точку С(х), симметричную точке А(-4) относительно точки В(2).

Решение. Отметим точки А(-4) и В(2) на числовой прямой. Найдем расстояние между точками по теореме 3, получим 6. Тогда расстояние между точками В и С тоже должно быть равным 6. Откладываем от точки В вправо 6 единичных отрезков, получим точку С(8).

Упражнения. 1) Найти расстояние между точками А и В: а) А(3) и В(11), б) А(5) и В(2), в) А(-1) и В(3), г) А(-5) и В(-3), д) А(-1) и В(3),                              (Ответ: а)8, б)3, в)4, г)2, д)2).

2) Постройте точку С(х), симметричную точке А(-5) относительно точки В(-1). (Ответ: С(3)).

 

Прямоугольная (декартова) система координат.

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартову) систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, а ось Оу - осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М - произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ соответственно на оси Ох и Оу. Точки пересечения А и В эитх перпендикуляров с осями называются проекциями точки М на оси координат.

Точкам А и В соответствуют определенные числа х и у  - их координаты на осях Ох и Оу. Число х называется абсциссой точки М, число у - ее ординатой.

Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х,у). При этом первой в скобках указывают абсциссу, а второй - ординату. Начало координат имеет координаты (0,0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует пара чисел (х,у) - ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой паре чисел (х,у) соответствует, и притом одна, точка М на плоскости Оху такая, что ее абсцисса равна х, а ордината равна у.

Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рисунке (гиперссылка).

На рисунке указаны также знаки координат точек в зависимости от их расположения. (например, в первой четверти обе координаты положительные).

Пример 7. Построить точки: А(3;5), В(-3;2), С(2;-4), D(-5;-1).

Решение. Построим точку А(3;5). Прежде всего введем прямоугольную систему координат. Затем по оси абсцисс отложим 3 единицы масштаба вправо, а по оси ординат - 5 единиц масштаба вверх и через окончательные точки деления проведем прямые, параллельные осям координат. Точка пересечения этих прямых является искомой точкой А(3;5). Остальные точки строятся таким же образом (см. рисунок-гиперссылка).

 

 

Упражнения.

  1. Не рисуя точки А(2;-4), выясните, какой четверти она принадлежит.

  2. В каких четвертях может находиться точка, если ее ордината положительна?

  3. На оси Оу взята точка с координатой -5. Каковы ее координаты на плоскости? (ответ: т.к. точка лежит на оси Оу, то ее абсцисса равна 0, ордината дана по условию, итак, координаты точки (0;-5)).

  4. Даны точки: а) А(2;3), б) В(-3;2), в) С(-1;-1), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно оси Ох. Постройте все эти точки. (ответ: а) (2;-3), б) (-3;-2), в) (-1;1), г) (х;-у)).

  5. Даны точки: а) А(-1;2), б) В(3;-1), в) С(-2;-2), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно оси Оу. Постройте все эти точки. (ответ: а) (1;2), б) (-3;-1), в) (2;-2), г) (-х;у)).

  6. Даны точки: а) А(3;3), б) В(2;-4), в) С(-2;1), г) D(x;y). Найдите координаты точек, симметричных им относительно начала координат. Постройте все эти точки. (ответ: а) (-3;-3), б) (-2;4), в) (2;-1), г) (-х;-у)).

  7. Дана точка М(3;-1). Найдите координаты точек, симметричных ей относительно оси Ох, оси Оу и начала координат. Постройте все точки. (ответ: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

  8. Определите, в каких четвертях может быть расположена точка М(х;у), если: а)ху>0, б) ху<0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

  9. Определите координаты вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 10, лежащего в первой четверти, если одна из вершин его совпадает с началом координат О, а основание треугольника расположено на оси Ох. Сделайте рисунок. (ответ: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

  10. Используя метод координат, определите координаты всех вершин правильного шестиугольника ABCDEF. (ответ: A(0;0), B(1;0), C(1,5;v3/2), D(1;v3), E(0;v3), F(-0,5;v3/2). Указание: примите точку А за начало координат, ось абсцисс направьте от А к В, за единицу масштаба возьмите длину стороны АВ. Удобно провести большие диагонали шестиугольника.)

 

Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»