Аналитическая геометрия

 

Урок 3

План урока.

расстояние между двумя точками.

Площадь треугольника.

деление отрезка в данном отношении.

 

Расстояние между двумя точками.

теорема 4. для любых двух точек м1(х1;у1) и м2(х2;у2) Плоскости расстояние d между ними выражается формулой:

доказательство. оПустим из точек м1 и м2 ПерПендикуляры м1в и м1а соответственно на оси оу и ох и обозначим через точку к точку Пересечения Прямых м1в и м1а. точка к имеет координаты (х2;у1). согласно теореме 3 имеем l м1к l = l х2 - х1 l и l м2к l = l у2 - у1 l.

так как Полученный треугольник Прямоугольный, то По теореме Пифагора

d2= м1м22=м1к2+м2к2 или . теорема доказана.

Пример 1. найти расстояние между точками а(-2;3) и в(5;4).

решение. исПользуя данную формулу, Получим:&amP;NbSP;

уПражнение. даны точки а(0;0), в(3;-4), с(-3;4). найдите расстояние между точками: а) аи в; б) в и с; в) а и с. (ответ: а) 5, б) 10, в) 5)

 

Площадь треугольника.

теорема 5. для любых трех точек a(x1;y1), b(x2;y2) и c(x3;y3), не лежащих на одной Прямой, Площадь S треугольника авс находится По формуле: Sabc=1/2 |(x2 – x1)(y3 –y1) – (x3 – x1)(y2 – y1)|.

доказательство. Площадь треугольника авс, изображенного на рисунке, можно найти так:

S=Sadec+SbceF - SabFd(*) , где Sadec, SbceF, SabFd- Площади соответствующих траПеций.

выражая Площадь каждой траПеции через координаты точек а, в и с, находим:

Sadec=1/2(ad+ce)*de = 1/2(x3 – x1)(y3 + y1)

SbceF=1/2(ec+bF)*eF = 1/2(x2 – x3)(y2 + y3)

SabFd=1/2(ad+bF)*dF = 1/2(x2 – x1)(y2 + y1)

Подставим эти равенства в формулу (*), Получим формулу: S=1/2 |(x1 – x2)(y1 + y2) +(x2 – x3)(y2 + y3) + (x3 – x1)(y3 + y1)|, из которой После Преобразований следует искомая формула для Площади треугольника.

формула Площади треугольника верна для любого расПоложения точек а, в, с на Плоскости, а не только для такого, как Показано на рисунке, При условии, что обход вершин а > в > с совершается Против часовой стрелки.

если же вершины треугольника авс расПоложены так, что обход а>в>с совершается По часовой стрелке, то Правая часть формулы меняет знак на ПротивоПоложный и для Площади треугольника авс надо взять то же выражение со знаком "-".

Пример 2. даны точки а(1;1), в(6;4), с(8;2). найти Площадь треугольника авс.

решение. Подставляя координаты точек в формулу для Площади треугольника, Получим:

Sabc=1/2 |(6 – 1)(2 –1) – (8 – 1)(4 – 1)|= 1/2 l-16l =8

уПражнение. вычислить Площадь треугольника, вершинами которого являются точки: а) а(2;-3), в(3;2), с(-2;5) б) м(-3;2), к(5;-2), о(1;3) в) х(3;-4), у(-2;3), т(4;5). (ответ: а) 14, б) 12, в) 25).

 

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на Плоскости дан Произвольный отрезок м1м2 и Пусть м - любая точка этого отрезка, отличная от точки м2.

число л, оПределяемое равенством называется отношением, в котором точка м делит отрезок м1м2.

задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы По данному отношению Л и данным координатам точек м1, м2 найти координаты точки м.

эту задачу Позволяет решить следующая теорема.

терема 6. если точка м(х;у) делит отрезок м1м2 в отношении Л;то координаты этой точки оПределяются формулами: ; ,где (х1; у1) - координаты точки м1, (х2; у2) - координаты точки м2.

доказательство. Пусть Прямая м1м2 не ПерПендикулярна оси ох. оПустим ПерПендикуляры из точек м1, м2 , м на ось ох и обозначим точки их Пересечения с осью ох соответственно через р1, р и р2 (см рис). на основании известной теоремы о ПроПорциональности отрезков Прямых, заключенных между Параллельными Прямыми, заключаем, что = . но По теореме 3 имеем l р1р l=lх-х1l и l рр2l=lх2-хl. так как числа

(x – x1) и (х2 – х) имеют один и тот же знак ( При x1<x2 они Положительны, а При x1>x2 – отрицательны), то . Поэтому , откуда . если Прямая м1м2 ПерПендикулярна оси ох, то х1 = х2 =х и эта формула также, очевидно, верна. формула для вычисления второй координаты у выводится аналогично. теорема доказана.

следствие. если точка м(х;у) середина отрезка м1м2 ,то Л=1, то координаты этой точки Примут вид: и

,где (х1; у1) - координаты точки м1, (х2; у2) - координаты точки м2. таким образом, каждая координата середины отрезка равна Полусумме соответствующих координат.

Пример 3. даны точки а(-2;3) и в(4;6). отрезок, ограниченный этими точками, разделен в отношении Л=2. найдите координаты точки м(х;у).

решение. Подставим координаты точек и Л=2 в формулы, Получим: х= (-2+2*4)/(1+2)=2; у= (3+2*6)/(1+2)=5. следовательно, координаты точки деления м(2;5).

таким образом, из рассмотренных нами задач наглядно видно, как метод координат Позволяет решить геометрические задачи чисто алгебраически.

уПражнения.

  1. на оси ох найдите точку, расстояние которой от точки а(3;4) равно 5. (ответ: (6;0) и (0;0))

  2. точка м является серединой отрезка оа, соединяющего начало координат о с точкой а(-5;2). найдите координаты точки м. (ответ: (-2,5;1))

  3. точка м(2;3) делит отрезок ав в отношении 1:2. найдите координаты точки в, если известно, что точка а имеет координаты (1;2). (ответ: в(4;5))

  4. вершинами треугольника служат точки а(-2;1), в(2;2), с(4;у). Площадь треугольника равна 15. оПределите ординату вершины с. (ответ: 10 или -5).

  5. найдите координаты центра тяжести однородной Пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами а(-2;1), в(2;-1), с(4;3).(ответ: х=4/3, у=1, указание: центр тяжести треугольника находится в точке Пересечения его медиан, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины)

  6. Площадь треугольника равна 3, две его вершины - точки а(3;1) и в(1;-3). найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат. (ответ: с(0;-8) или с(0;2))

  7. Площадь Параллелограмма равна 12, две его вершины - точки а(-1;3) и в(-2;4). найдите две другие вершины Параллелограмма, если известно, что точка Пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. (ответ: (-7;-3) и (-6;-4) или (17;-3) и (18;-4))

  8. вершины треугольника - точки а(3;6), в(-1;3) и с(2;-1). найдите длину его высоты, Проведенной из вершины с. (ответ:5)

  9. три вершины Параллелограмма- точки а(3;7), в(2;-3) и с(-1;4). найдите длину высоты, оПущенной из вершины в на сторону ас. (ответ: 7 или 4)

  10. отрезок, ограниченный точками а(1;-3) и в(4;3), разделен на три равные части. оПределите координаты точек деления. (ответ: (2;-1) и (3;1))

  11. оПределите координаты концов отрезка а и в, который точками к(2;2) и м(1;5) разделен на три равные части. (ответ: а(3;-1) и в(0;8))

  12. три вершины Параллелограмма - точки а(3;-5), в(5;-3) и с(-1;3). оПределите четвертую вершину, ПротивоПоложную в. (ответ: (-3;1))

  13. найдите Площадь Пятиугольника с вершинами о(0;0), а(3;-2), в(5;-1), с(8;4) и е(4;5). (ответ: 29,5)

Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»