Аналитическая геометрия

 

Урок 4

Полярная система координат.

Познакомимся теПерь с Полярной системой координат. Эта система состоит из некоторой точки о, называемой Полюсом, и исходящего из нее луча ое, называемого Полярной осью. кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана Полярная система координат и Пусть точка м - Произвольная точка Плоскости. обозначим через p расстояние ом, а через f - угол, на который нужно Повернуть Против часовой стрелки Полярную ось для совмещения с лучом ом.

Полярными координатами точки м называются числа p иf?. число p считают Первой координатой и называют Полярным радиусом, число f - второй координатой и называют Полярным углом.

точка м с Полярными координатами p и f обозначается так: м(p;f). обычно считают, что Полярные координаты p и f изменяются в следующих Пределах: p - от нуля до бесконечности, f - от нуля до 2П.

однако в ряде случаев Приходится рассматривать углы, большие 2П, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от Полярной оси По часовой стрелке.

Пример 1. Построить точки, заданные Полярными координатами: а(2;П/2), в(3;П/4), с(3;3П/4), D(4;0), F(2;3?П2), P(3;П).

решение. Построим точку а(2;П/2). введем Полярную систему координат. из точки о Проведем луч Под углом f=П/2 к Полярной оси и отметим на нем точку а с координатой р=2. Получаем искомую точку а. остальные точки строятся аналогично.

установим связь между Полярными координатами точки и ее Прямоугольными координатами. При Этом будем ПредПолагать, что начало Прямоугольной системы координат совПадает с Полюсом, а Положительная Полуось абсцисс - с Полярной осью. Пусть точка м имеет Прямоугольные координаты х и у и Полярные координаты p и f.

очевидно, х=p cOsf, y=p sinf.(1)

с Помощью данных формул Прямоугольные координаты точки выражаются через Полярные, а выражение Полярных координат через Прямоугольные выражается следующим образом:

(2),  (3).

При Этом формула (3) оПределяет два значения Полярного угла f, так как f изменяется от 0 до 2П. из Этих двух значений угла F выбирают то, При котором удовлетворяются равенства (1).

расстояние между точками a(p1; f1) b(p2; f2), заданными в Полярных координатах, находится По формуле:

Пример 2. в Прямоугольной системе координат дана точка (2;2). найти ее Полярные координаты, считая, что Полюс совмещен с началом Прямоугольной системы координат, а Полярная ось совПадает с Положительной Полуосью абсцисс.

решение. По формулам (2) и (3) находим p=2v2, tgf=1. согласно равенству (3), f=П/4 или f=3П/4. так как х>0, у>0, то следует взять f=П/4. итак, p=2v2, f=П/4.

Пример 3. в Полярной системе координат дана точка (2;П/4). найти ее Прямоугольные координаты, считая, что Полюс совмещен с началом Прямоугольной системы координат, а Полярная ось совПадает с Положительной Полуосью абсцисс.

решение. По формулам (1) находим: x=2cOsП/4=v2, y=2sinП/4=v2. следовательно, х=v2, у=v2.

Пример 4. найти Полярное уравнение Прямой у=1.

решение. Подставив у=1 во вторую из формул (1), Получим 1=psinf, откуда p=1 / sinf. Это и есть искомое уравнение Прямой.

уПражнения.

  1. в Прямоугольной системе координат даны точки а(0;5), в(-3;0), с(v3;1). найдите их Полярные координаты. (ответ: а(5;П/2), в(3;П), с(2;П/6)).
  2. в Полярной системе координат даны точки а(4;П/2) и в(8;-П/4). найдите их Прямоугольные координаты. (ответ: а(0;4), в(4v3;-4)).
  3. в Полярной системе координат даны точки а(8;2П/3) и в(6;П/3). найдите Полярные координаты середины отрезка ав. (ответ: (1;2П/3)).
  4. в Полярной системе координат даны точки а(3;П/6) и в(5;2П/3). найдите расстояние между ними. (ответ:v34).
  5. одна из вершин треугольника оав совПадает с Полюсом, двумя другими вершинами являются точки а(5;П/4) и в(4;П/12). найдите Площадь треугольника оав. (ответ: 5).
  6. найдите Площадь треугольника, вершинами которого являются точки а(3;П/8), в(8;7?П24) и с(6;5П/8). (ответ: 3(4v3 - 1)).
  7. в Полярной системе координат дана точка (10;П/6). найдите ее Прямоугольные координаты, если известно, что Полюс находится в точке (2;3), а Полярная ось Параллельна оси абсцисс. (ответ: (2+5v3;8)).
Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»