Аналитическая геометрия

 

Урок 8

План урока.

условия Параллельности и ПерПендикулярности двух Прямых.

расстояние то точки до Прямой.

взаимное расПоложение двух Прямых на Плоскости.

Практикум.

 

условия Параллельности и ПерПендикулярности двух Прямых.

условием Параллельности двух Прямых является равенство их угловых коэффициентов.

данное условие следует из того, что При Параллельности Прямых, угол между ними равен 0, tg0=0, а отсюда По формуле (7) k1=k2

условием ПерПендикулярности двух Прямых - Произведение их угловых коэффициентов равно -1.

При ПерПендикулярности двух Прямых в формуле (7) (угол между ними 900, тангенса не существует) следует: сtgf= (1+ k1k2)/ (k2 - k1)=0 или 1+ k1k2=0.

Пример 1. Показать, что Прямые 4х-2у+7=0 и 20х-10у-11=0 Параллельны.

решение. Приведя уравнение каждой Прямой к виду уравнения с угловым коэффициентом (2), Получаем: у=2х+3,5 и у=2х-5,5. угловые коэффициенты этих Прямых равны (Принимают значение 2). отсюда следует, что Прямые Параллельны.

Пример 2. Показать, что Прямые 4х-2у+7=0 и 10х+20у-3=0 ПерПендикулярны.

решение. Приведя уравнение каждой Прямой к виду уравнения с угловым коэффициентом (2), Получаем: у=2х+3,5 и у=-0,5х+0,15. найдем Произведение угловых коэффициентов: 2(-0,5)=-1. отсюда следует, что Прямые ПерПендикулярны.

 

Pасстояние то точки до Прямой.

расстояние d от точки а(х0;у0) до Прямой l, заданной уравнением вида Ax + By + C = 0, вычисляется По формуле (8).

Пример 3. Пусть Прямая задана уравнением 3х-4у+10=0 и дана точка а(4;3). найти расстояние от точки до Прямой.

решение. По формуле (8) находим

 

Bзаимное расПоложение двух Прямых на Плоскости.

рассмотрим две Прямые l1 и l2, заданные уравнениями: а1х+в1у+с1=0 и а2х+в2у+с2=0.

1) Прямые совПадают, если все коэффициенты Первого уравнения ПроПорциональны коэффициентам второго уравнения, т.е.

2) Прямые Параллельны, если

3) Прямые Пересекаются, частный случай - ПерПендикулярны:

 

Практикум.

  1. составьте уравнение Прямой, отсекающей на оси оу отрезок B=3 и образующей с осью ох угол: а) 450, б) 1350. Постройте эту Прямую. (ответ: а)у=х+3; б) у=-х+3).
  2. оПределите Параметры k и B для каждой из Прямых: а) 2х-3у=6; б) 2х+3у=0; в) у=-3; г) х/4 +у/4 =1. (ответ: а) k=2/3; B= -2; б) k=-2/3; B=0; в) k=0; B=-3; г) k=-3/4; B=3)
  3. оПределите Параметры k и B Прямой, Проходящей через точку а(2;3) и составляющей с осью угол 450. составьте уравнение этой Прямой. (ответ: k=1; B=1, у=х+1)
  4. Приведите к виду уравнений в отрезках на осях уравнения Прямых: а) 2х-3у=6; б) 3х-2у+4=0. (ответ: а) х/3 - у/2 =1; б) -3х/4 + у/2=1)
  5. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точки а(-1;3) и в(4;-2). (ответ: у=-х+2)
  6. составьте уравнения Прямых, заданных Параметрами: а) B=-2, a=600, б) B=-2, a=1200.Постройте эти Прямые.(ответ: а)у=хv3-2, б)у=-хv3-2)
  7. оПределите точки Пересечения Прямой 2х-3у-12=0 с осями координат и Постройте эту Прямую. (ответ: (6;0) и (0;-4))
  8. найдите точку Пересечения Прямых 3х-4у-29=0 и 2х+5у+19=0. (ответ: (3;-5))
  9. стороны ав, вс и ас треугольника авс заданы соответственно уравнениями 4х+3у-5=0, х-3у+10=0 и х-2=0. оПределите координаты его вершин. (ответ: а(2;-1), в(-1;3), с(2;4))
  10. составьте уравнения двух Прямых, Проходящих через точку а(4;5), так, чтобы одна была Параллельна оси ох, а другая - оси оу. (ответ: у=5, х=4)
  11. оПределите угол между Прямыми: а) у=2х-3 и у=0,5х+1, б) 5х-у+7=0 и 2х-3у+1=0, в) 2х+у=0 и у=3х-4, г) 3х-4у=6 и 8х+6у=11. (ответ: а) ArCtg0,75; б) 450, в) 450, г) 900)
  12. составьте уравнения Прямых, Проходящих через точку а(-1;1) Под углом 450 к Прямой 2х+3у=6. (ответ: х-5у+6=0 и 5х+у+4=0)
  13. составьте уравнение ПерПендикуляра, оПущенного из точки а(6;2) на Прямую х-4у-7=0. (ответ: у+4х-26=0)
  14. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку а(-4;3) и Параллельной Прямой х+2у+3=0. (ответ: х+2у-2=0)
  15. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку Пересечения Прямых 2х-3у-1=0 и 3х-у-2=0 ПерПендикулярно Прямой у=х+1. (ответ: 7х+7у-6=0)
  16. дан треугольник с вершинами а(-2;0), в(2;4) и с(4;0). составьте уравнения сторон треугольника, медианы ае, высоты ан и найдите длину медианы ае. (ответ: ае: 2х-5у+4=0, ее длина v29, ан: х-2у+2=0)
  17. найдите расстояние точек а(4;3), в(2;1), с(1;0) и о(0;0) от Прямой 3х+4у-10=0. Постройте точки и Прямую. (ответ: 2,8; 0; 1,4; 2)
  18. Покажите, что Прямые 2х-3у-6=0 и 4х-6у-25=0 Параллельны, и найдите расстояние между ними. (ответ: 6,5; указание: на одной из Прямых возьмите Произвольную точку и найдите ее расстояние от другой Прямой)
  19. найдите k из условия, что Прямая у=kх+5 удалена от начала координат на расстояние d=v5. (ответ: k=±2)
  20. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку а(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d=2. (ответ: 3х-4у+10=0; х=2)
  21. через начало координат Проведена Прямая на одинаковом расстоянии от точек а(2;2) и в(4;0). найдите это расстояние. (ответ: уравнения Прямых: х+у=0 и х-3у=0, расстояния: 2v2 и 0,4v10)
  22. составьте уравнение Прямой, Проходящей через точку Пересечения Прямых 4х+3у=7 и 3х+2у=5 и составляющей тот же угол с осью ох, что и Прямая 2х+=5. (ответ: у+2х-3=0)
  23. дан треугольник с вершинами а(2;3), в(4;8) и с(3;-8). составьте уравнения его сторон, медиан и высот. (ответ: ав: 5х-2у-4=0, ас: у+11х-25=0, вс: 16х-у-56=0; уравнения медиан: 2х+у-7=0, 7х-у-20=0, х=3; уравнения высот: 11у-х-84=0, 16у+х-50=0, 5у+2х+24=0)
Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»