| ||||||
|
| |||||
|
Урок 7План урока. общее уравнение Прямой. неПолное уравнение Первой стеПени. уравнение Прямой в отрезках. угол между двумя Прямыми.
общее уравнение Прямой. теорема. в Прямоугольной системе координат оху любая Прямая задается уравнением Первой стеПени ах+ву+с=0 (5), и обратно, уравнение (5) При Произвольных коэффициентах а, в, с (а и в не равны нулю одновременно) оПределяет некоторую Прямую в Прямоугольной системе координат оху.
доказательство. сначала докажем Первое утверждение. если Прямая не ПерПендикулярна оси ох, то, как было Показано в Пункте "уравнение Прямой с угловым коэффициентом", она оПределяется уравнением Первой стеПени: у=kх+b, т.е. уравнением вида (5), где а=k, в=-1; с=b. если же Прямая ПерПендикулярна оси ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого Прямой на оси ох. уравнение этой Прямой имеет вид х=а, т.е. также является уравнением Первой стеПени вида (5), где а=1, в=0, с=-а. тем самым Первое утверждение доказано. докажем теПерь обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), Причем хотя бы один из коэффициентов а и в не равен нулю. если в не равно 0, то уравнение (5) можно заПисать в виде: у=-а/вх-с/в. Полагая k=-а/в, b=-с/в, Получаем уравнение у=kх+b вида (2), которое оПределяет Прямую. если в=0, то а не равно 0 и уравнение (5) Принимает вид х=-с/а. обозначив с/а через а, Получим х=а, т.е. уравнение Прямой, ПерПендикулярной оси ох. теорема доказана. линии, оПределяемые в Прямоугольной системе координат уравнением Первой стеПени, называются линиями Первого Порядка. таким образом, каждая Прямая есть линия Первого Порядка и, обратно, каждая линия Первого Порядка есть Прямая. уравнение вида ах+ву+с=0 называется общим уравнением Прямой (или Полным уравнением Прямой). При различных значениях а, в, с оно оПределяет всевозможные Прямые. Пример 1. Прямая задана общим уравнением 12х-5у-65=0. наПисать ее уравнение с угловым коэффициентом. решение. выразим из этого уравнения у, Получим: 5у=12х-65. разделим Полученное равенство на 5, Получим искомое уравнение: у=2,4х-13. здесь k=2,4 и b=-13.
уравнение Прямой в отрезках. неПолное уравнение Первой стеПени. рассмотрим три частных случая, когда уравнение ах+ву+с=0 является неПолным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю. 1) с=0; уравнение имеет вид ах+ву=0 и оПределяет Прямую, Проходящую через начало координат. 2) в=0 (а не равно 0); уравнение имеет вид ах+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси оу. как было Показано в Предыдущей теореме, это уравнение Приводится к виду х=а, где а=-с/а, а - величина отрезка, который отсекает Прямая на оси ох (рисунок выше). в частности, есои а=0, то Прямая совПадает с осью оу. таким образом, уравнение х=0 оПределяет ось ординат.
Пусть теПерь дано уравнение ах+ву+с=0 При условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. введя обозначения а=-с/а, b=-с/в, Получим: Уравнение (6) называется уравнением Прямой в отрезках. числа а=-с/а, b=-с/в являются величинами отрезков, которые Прямая отсекает на осях координат. эта формула удобна для геометрического Построения Прямой.
решение. для данной Прямой уравнение в отрезках имеет вид х/(-5)+ у/3=1 (данное уравнение Получим, разделив исходное уравнение на -15). чтобы Построить эту Прямую, отложим на осях координат ох и оу отрезки, величины которых соответственно равны а=-5, b=3, и Проведем Прямую через точки м1(-5;0) и м2(0;3).
рассмотрим две Прямые l1 и l2. Пусть уравнение l1 имеет вид y=k1x+b1 , где k1=tga1 , а уравнение l2 – вид y=k2x+b2 , где k2=tga2 . далее, Пусть f – угол между Прямыми l1 и l2: 0<f<П. из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами а1, а2, f: a2=a1+f или f=a2-a1, откуда tgf=tg(a2 - a1)= (tga2 - tga1)/(1+tga1tga2) или tgf= (k2 - k1) / (1+ k1k2) (7) формула (7) оПределяет один из углов между Прямыми, другой угол равен П-f. Пример 3. Прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими Прямыми. решение. очевидно, k1=2, k2=-3, Поэтому согласно формуле (7) находим: tgf=(-3-2)/(1+(-3)2)= 1. таким образом, один из углов между данными Прямыми равен 450, другой угол 1800-450=1350. | ||||||
|
| ||||||
| Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish» | ||||||
3) а=0 (в не равно 0); уравнение имеет вид ву+с=0 и оПределяет Прямую, Параллельную оси ох. это устанавливается аналогично Предыдущему случаю. если Положить b=-с
Пример 2. Прямая задана уравнением 3х-5у+15=0. составить ее уравнение в отрезках и Построить Прямую. 