Урок 9

План урока.

оПределение множества точек По заданному условию.

задача о двух Пешеходах.

оПределение множества середин отрезков.

задача о трех окружностях.

задача о Площади треугольника.

 

оПределение множества точек По заданному условию.

задача.найти множество точек Плоскости, сумма квадратов расстояний которых до двух ПротивоПоложных вершин данного Прямоугольника равна сумме квадратов расстояний до двух других его вершин.

решение. возьмем на Плоскости систему координат так, чтобы ее начало оказалось центром данного Прямоугольника. Пусть м(х;у) - Произвольная точка искомого множества. Применяя формулу расстояния между двумя точками, имеем:

|ма|²+|мс|²=(х+а)²+(у-B)²+(х-а)²+(у-B)²

|мв|²+|мd|²=(х-а)²+(у-B)²+(х+а)²+(у+B)²

Приравняв Правые части этих равенств, Получим тождество 0=0. следовательно, искомое множество точек - вся Плоскость.

 

 

 

 

задача о двух Пешеходах

задача. установить, какую линию оПисывает середина отрезка между двумя Пешеходами, идущим По двум взаимно ПерПендикулярным дорогам с одинаковой скоростью.

решение. Пусть Первый Пешеход движется вдоль оси ох из точки а(а;0) со скоростью v, а второй - вдоль оси оу из точки в(0;B) с той же скоростью. тогда в момент времени t Первый Пешеход находится в точке (а+vt;0), а второй - в точке (0;B+vt). обозначим через (х;у) координаты середины отрезка между Пешеходами. тогда согласно формулам серединами отрезка Получим:

исключим из этих равенств t:

откуда или у=х+0,5(B-а). таким образом, искомая линия - Прямая, Параллельная биссектрисе угла между наПравлениями движения Пешеходов.

замечание. если скорости Пешеходов различны (Пусть они равны v₁ и v₂), то можно установить, что уравнение искомой линии будет иметь вид: т.е. это также Прямая, но угол ее наклона к оси ох уже другой.

 

оПределение множества середин отрезков.

задача. найти множество середин отрезков, концы которых лежат на разных диагоналях квадрата.

решение. выберем систему координат, как Показано на рисунке, где авсd - данный квадрат. Пусть м(0;у) и n(х;0) - Произвольные точки соответственно на отрезках ов и ос (Половинах диагоналей квадрата). тогда 0<х<а, 0<у?<а, отрезки мn лежат в I четверти и середина отрезков мn имеют координаты (0,5х;0,5у), где 0<0,5х<0,5а, 0<0,5у<0,5а, т.е. заПолняют квадрат оеfр. восПользовавшись симметрией данного квадрата, Получаем, что искомое множество - квадрат с вершинами в середине его сторон.

 

 

задача о трех окружностях.

задача. даны три окружности, каждая из которых Пересекает две другие. доказать, что Прямые, которым Принадлежат их общие хорды, Пересекаются в одной точке.

решение. будем рассуждать так. Пусть точка м (см рисунок - гиПерссылка) Пересечения общих хорд окружностей с центрами о₁ и о₂, о₂ и о₃. она обладает тем свойством, что разность квадратов расстояний от нее до точек о₁ и о₂ (о₂ и о₃) Постоянна, а именно |мо₁|² - |мо₂|² = r₁² - r₂² , |мо₂|² - |мо₃|² = r₂² - r₃² сложив Почленно эти равенства Получим&AmP;nBsP; |мо₁|² - |мо₃|² = r₁² - r₃² , т.е. точка м должна лежать на Прямой, Проходящей через точки Пересечения окружностей с центрами о₁ и о₃, и Принадлежать общей хорде этих окружностей. следовательно, точка м лежит на Пересечении трех Прямых, которым Принадлежит их общие хорды.

 

задача о Площади треугольника.

задача. в треугольнике авс известны угол асв равен 60⁰ и радиус оПисанной окружности, равный 2v3. на стороне ав взята точка d так, что |аd|=2|dв|, Причем |сd|=2v2. найти Площадь треугольника авс.

решение. Пусть о - центр оПисанной окружности. введем систему координат с началом в точке е (середине отрезка ав), оси координат наПравим, как Показано на рисунке. вычислим длины отрезков ав, de и Oe: ав=2rsin60⁰=2*2v3*v3/2=6, de=1/2AB - 1/3AB=1, Oe=r/2=v3 (так как угол аое равен Половине угла аов, и равен углу асв, т.е. 600).

в выбранной системе координат точка с имеет координаты (х;у), координаты точек о и d соответственно равны (0;v3) и (1;0). для вычисления Площади треугольника авс нужно найти его высоту, т.е. ординату точки с. так как точка с Принадлежит оПисанной окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению х²+(у-v3)²=(2v3)². другое соотношение, связывающее х и у, Получим, заПисав выражение для квадрата расстояния между точками с(х;у) и d(1;0): (х-1)²+у²=8. решим Полученную систему уравнений, Получим: у=v2 (значение у=-v2, также удовлетворяющее системе не годится, Поскольку в этом случае угол ас₁в будет равне 120⁰, что не соответствует условию задачи).

итак, высота треугольника авс равна v2 и , следовательно, s_авс=1/2 6v2=3v2.

Автор: Вяликова Мария Владимировна - учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области